การวิเคราะห์ปัญหาความเค้นใน 2 มิติด้วยวิธีสมูทไฟไนท์เอลิเมนต์จากการสร้างเอลิเมนต์รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ แบบ 4 ส่วนย่อย

Abstract

งานวิจัยนี้นำเสนอการประยุกต์ใช้ระเบียบวิธีสมูทไฟไนท์เอลิเมนต์โดยการสร้างความเครียดแบบสม่ำเสมอสำหรับการวิเคราะห์ปัญหาความเค้นใน 2 มิติ ด้วยการสร้างเอลิเมนต์รูปสี่เหลี่ยมใด ๆ แบบ 4 ส่วนย่อย โดยทำการศึกษาผลของการสร้างโดเมนสม่ำเสมอแบบกำหนดอัตราส่วนความยาวของเอลิเมนต์ย่อยต่อความยาวของเอลิเมนต์หลักที่เท่ากันทั้งสองแกน จำนวน 3 ช่วงคือ 0.2-0.3, 0.3-0.4 และ 0.4-0.5 วิเคราะห์ร่วมกับการแบ่งโครงตาข่ายเอลิเมนต์จำนวน 5 ชุด คือ 16x4, 24x6, 32x8, 40x10 และ 48x12 ตามลำดับ ปัญหาที่ใช้สำหรับงานวิจัยในครั้งนี้ เป็นปัญหาความเค้นในระนาบของคานยื่นปลายรับแรงกระทำซึ่งมีการกระจายตัวเป็นรูปพาราโบลาในแนวดิ่งที่ปลายคานเป็นตัวอย่างในการสร้างแบบจำลองคณิตศาสตร์ ทำการวิเคราะห์โดยวิธีสมูทไฟไนท์เอลิเมนต์ (CS-FEM) โดยกำหนดจำนวนการแบ่งโครงตาข่ายของเอลิเมนต์หลักเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า สำหรับเอลิเมนต์สม่ำเสมอย่อยภายในเอลิเมนต์หลักนั้น ทำการแบ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมโดยขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนความยาวของเอลิเมนต์ย่อยต่อความยาวของเอลิเมนต์หลักร่วมกับการอาศัหลักการความสมมาตรของรูปทรงแบบ semi-unit-cell ผลของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขที่ได้ จะถูกนำมาเปรียบเทียบกับค่าที่คำนวณได้ทางทฤษฎีของการเปลี่ยนตำแหน่ง (displacement) ความเค้นตั้งฉาก (normal stress) และความเค้นเฉือน (shear stress) ที่หน้าตัด L/2 และ L/4 ตามลำดับผลการวิจัยพบว่า ที่อัตราส่วนความยาวของเอลิเมนต์ย่อยต่อความยาวของเอลิเมนต์หลัก และจำนวนของโครงตาข่ายมีค่ามากที่สุดนั้น ค่าความแตกต่างของการเปลี่ยนตำแหน่งที่ปลายคานจากการวิเคราะห์เปรียบเทียบกับค่าที่ได้ทางทฤษฎีมีค่าเป็นร้อยละ 0.09 ความแตกต่างของค่าเฉลี่ยของความเค้นตั้งฉากที่ระยะ L/2 มีค่าเป็นร้อยละ 1.11 และที่ระยะ L/4 มีค่าเป็นร้อยละ 1.03 ค่าความแตกต่างของค่าเฉลี่ยของความเค้นเฉือนในระนาบที่ระยะ L/2 มีค่าเป็นร้อยละ 2.26 ตามลำดับ การเพิ่มขึ้นของอัตราส่วนความยาวของเอลิเมนต์ย่อยต่อความยาวของเอลิเมนต์หลักในโครงตาข่ายที่หยาบ ส่งผลให้การคำนวณค่าความเค้นตั้งฉากเข้าใกล้ค่าจากทฤษฎีได้อย่างชัดเจน ในขณะที่ค่าความของเค้นเฉือนนั้น การเพิ่มขึ้นของค่าอัตราส่วนดังกล่าว ไม่ได้ส่งผลให้ผลการคำนวณเข้าใกล้ค่าจากทฤษฎีอย่างมีนัยสำคัญมากกว่าการเพิ่มจำนวนของการแบ่งเอลิเมนต์

This research proposes an application of the Smoothed Finite Element Method (SFEM) in smoothed strain field construction with four smoothing cells created by the arbitrary quadrilateral elements for two-dimensional plane stress analysis. The study examined the creation of smoothing domains by defining three modes for the ratio of the length of sub-element and that of main element (0.2-0.3, 0.3-0.4 and 0.4-0.5) analyzed with 5 sets of mesh in different sizes assigned as 16x4, 24x6, 32x8, 40x10, and 48x12 respectively. Plane stress problem employed by this research involved with the utilization of cantilever beam subjected to parabola traction at the free end to formulate the mathematical model. Data analysis was conducted by Smoothed Finite Element Method (CS-FEM) with determined number of quadrilateral elements resulted from meshing technique. For smoothing domains within a main element, we divided the main element into rectangles based on the ratio of the length of sub-element to main element and “semi-unit cell” symmetrical concept. The results of the numerical analysis, then, were compared to the exact solutions including displacement, normal stress, and shear stress with cross section at L/2 and L/4, respectively. The findings showed that regarding to the ratio of the length of smoothed element to main element and the finest mesh, the percentage difference of the tip displacement compared to the exact solutions was 0.09%. The mean difference for normal stress was 1.11% at distance L/2 and 1.03% at distance L/4, while the mean difference for shear stress with cross section at L/2 was 2.26%. The increase of the ratio of the length of smoothed element and that of coarse mesh improved the accuracy of normal stress value close to theoretical number. However, for shear stress, this increase did not significantly generate numerical results close to the exact solutions than the increase in number of element distribution.